Das hier sind meine Notitzen, um mich den gennannten Themen in der Mathematik zu nähern. Ich habe es für doofe geschrieben, weil ich das sonst nicht behalte. Wem das Niveau zu niedrig ist: Sorry, mehr geht nicht.
Generell: Have fun 😀
Wikipedia - Topologischer Raum
Ich stell mir das wie die Karten der Erde vor. Die Karten sind die Teilmengen. Das System ist die Erde und die Grundmenge ist besteht aus allen Karten (sowas wie der Atlas).
Man sagt:
Das kommt aus der "echten" Welt. Heute ist klar, dass die "echte" Welt auch komplizierter ist. Das Stichwort ist hier die Relativitätstheorie.
Zusätzlich müssen noch diese Regeln gelten:
Man sagt, dass eine Menge $X$ mit einer Topologie $T$ (auf $X$) heißt: topologischer Raum $(X, T)$
Außerdem sagt man:
Ein Axiom ist eine schlaues Wort für Grundsatz. Grundsatz in einem System. In dem System ist der Grundsatz nicht begründet. Ich vestehe dass so: Man legt beim Telefonieren nicht einfach auf. Das ist unhöflich. Also: In einem höflichen "System" gibt es das Nichtauflegen-Axiom. Einfach auflagen ist unhöflich. Begründet ist das nicht.
Für die Topologischen Räume gibt es 2 Abzählbarkeitsaxiome.
1. Jeder Punkt hat eine Umgebungsbasis die abzählbar ist
2. Jeder Raum hat eine Basis der Topologien die abzählbar ist
Das 1. heißt für mich, dass z.B. auf einem Schachbrett ein Feld nur eine bestimmte Anzahl von Nachbarfeldern hat. (Maximal 8)
Das 2. heißt für mich, dass z.B. ein Atlas eine abzählbare Anzahl von einzelnen Karten hat.
Ein Raum der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt heißt erstabzählbar. Und, wer hätte das gedacht, ein Raum der das 2. erfüllt, heißt zweitabzählbar. 😀